第123章 我要亲自招收这两位学生
陆正庭看著白板上的公式，愣了几秒。
他只是想问楚若然对什么数学方向感兴趣，没想到他直接在白板上出了两个猜想。
楚若然看出了陆正庭的迟疑，轻声道：“陆院长，其实我对数学的各个方向都感兴趣。我都想研究。”
陆正庭听完，微微一笑：“没有人可以做到涉猎广泛並精通。做学问，总得先挖一个坑再往下掘。”
楚若然指了指余南汐，也微笑道：“我和她是可以不断挖坑並深入发掘的人，一个坑对我们来说太少了。”
这话一出，一旁的季志远愣了愣。
不断挖坑？
你这孩子，怎么在菲尔兹奖得主面前大放厥词？
不过比起季志远的愣神，陆正庭倒是目光带著几分深意的看向楚若然：“你能说出这话来我很欣慰。优秀的数学家从不止步於眼前的成就。”
“那我们就不聊方向了，聊聊能力。”
他抬起手擦掉黑板上的笔跡，重新写下一行公式：△u+入u=0
“我们从最基础的偏微分方程聊起。这是一条拉普拉斯方程，假设在有限区域內，边界条件为零，入为常数，谈谈你们对解的存在性有什么看法。”
季志远在一旁看著，眉头微微挑起。
这是一道很开放的题。严格意义上来讲，它甚至算不上题，更像是一个门槛。
他立刻意识到陆正庭是想考察两个孩子的思维方式。
楚若然拿起白板笔稍作思索，隨后走上前在空白处写下几个小字：分离变量法。
“如果入=0，可以视为调和函数问题。对二维情况，若Ω为有界区域，可展开为傅立叶级数，得到满足dirichleti边界条件的唯一解。”
陆正庭点头：“那若λ>0呢？”
楚若然：“那就转化为he imholtz方程。若边界仍为零，可以利用特徵函数展开法，解为一组正交特徵函数的线性组合。不过在高维下，特徵值的分布规律——目前还没有解析式。”
陆正庭微微眯眼。
分离变量、特徵函数、边界条件、特徵值分布，全部提到了。
他又看向一旁的余南汐：“同学，有什么补充？”
“唔，若入取复数，解就不再局限於实空间，可以考虑解析延拓。这时候调和函数解集的性质和黎曼？函数的解析延拓形式有一点相似。”
“嗯。
陆正庭沉吟片刻，又抬手写下一行新的公式：u/ot=△u
他侧过身，看向两个人：“假设区域Ω有界，边界条件齐次，初始函数在c空间中。
请说说你们认为这种方程的解，在时间t上的连续性与唯一性如何？”
楚若然思考几秒：“若係数常数且域有界，可利用特徵展开法。解可表示为u（，t）=∑ane^（—入mt）中n（）+——，其中入n为laplace算子的特徵值，中.为正交基函数。由於入>0，係数指数衰减，解在t上连续且唯一。”
陆正庭点头：“那如果係数不恆定呢？”
余南汐软声接道：“唔...若△替换为椭圆型算子div（a（）7u），只要a（）在区域內正定且连续，就仍然可以证明弱解存在。可以通过能量估计与poincaré不等式得到∥u（t）∥隨时间单调不增，从而保证解的稳定性与唯一性。”
“很好。”陆正庭目光微亮。
他又写下一条式子：2u/t2+△u=0
“换个类型。这个方程的基本解性质与前一个有何不同？”
楚若然：“前者是典型的拋物型算子，解隨时间平滑化；这一条则为双曲型算子，平滑性不增强，只保持连续。形式解可写作u（，t）=Σacos（√入t）+——”
余南汐在旁轻声补充：“唔，若算子△改为一般椭圆型l=—div（a7u幢+q（）u，则谱为正定离散。”
陆正庭：“那我继续。”
l（u）=div（a（）vu）+b（）.vu+c（）u=f（）
“这是最一般的线性椭圆型方程。假设a，b，c连续且a（）正定。谈谈你们认为解的正则性应满足什么条件。”
楚若然抬起头：“若f∈l2（q），则..”
“若f∈ca且边界光滑，则...”
“若再放宽到非齐次边界条件，可通过la—milgram引理...”
余南汐轻声补充：“唔，如果a（）只在弱意义下正定，比如..”
“唔，当a具有分段光滑性时，可以利用加权sobolev空间的正则性理论证明——”
两个人一唱一和，互相佐证。
季志远在一旁听得一愣一愣的。
虽然早有心理准备。但当听到如此流利的快问快答，而且逻辑严丝合缝。季志远大受震撼。
回答还在继续。
l（u）=（i，j）a （@u/0：0+......
“对这个公式，假设对称且在区域內满足一致椭圆性，討论此算子的自伴性与谱性质。”陆正庭道。
这一次，楚若然与余南汐几乎同时开口。
“若a光滑且b=c=0，在ho（q）上定义的算子是自伴的。其谱为....”
“因此任意u∈l2（2）可展开为....
“唔...若b不为零但满足div（b）=0，可通过加权內积修正对称性。”
“唔，而若c（）<0，则最低特徵值可能为负，但谱仍为离散——
陆正庭摸了摸下巴，眼神逐渐凝重：“很好。那如果a只分段连续呢？会影响正则性吗？”
楚若然：“会。弱解在分界面上保持函数连续，但梯度一般不连续。若每个分区內a∈c，则...”
余南汐：“如果进一步假设界面光滑，可以通过反射法构造延拓，使得u在邻域內属於c..
“那非线性情形呢？比如方程中出现u2或u项。”陆正庭又问。
楚若然：“可以转化为变分问题。若能量泛函Φ（u）...”
余南汐：“也可以通过单调算子理论。若算子a（u）=—div（a（，7u））满足强单调性.
一个小时后，陆正庭终於放下笔。
他长长的呼出口长气。
“我想我的提问可以结束了，我心里已经有答案了。”他抬起头缓缓看向两人，“你们两个，有机会站在国际数学家大会的舞台上。”
说完这句话，陆正庭微笑的拍了拍楚若然的肩膀。
旁边的季志远愣在那里，眼神里满是震动。
刚才整整一个小时，他一句话都没插进去。
仿佛像一个新兵蛋子。
“老季，要不你也来问问看吧？”陆正庭看了他一眼，“这俩孩子，可能不只擅长偏微分方程。”
听到这话，季志远吸了口气，起身走到黑板前。
他沉默片刻，然后写下几个新的式子。
7xf=0，div（f）=p（）
∫—“f（z）dz=0
det（j）=1
“我们聊聊向量分析、复分析，还有一点微分几何。”他说道。
楚若然看了看公式，最先开口：“若f保守，则存在势函数中，满足f=7中——的局部条件。”
余南汐补充：“晤，∫—“f（z）dz=0意味著解析函数的路径无关性，可以推广到多復变量空间——”
季志远又写了两个符號：
a2φ/aay=aφ/ayd
ra“/ok—o“/o+——
“那这个呢？”他问。
楚若然皱眉，沉思片刻后道：“第一个是混合偏导交换条件，保证函数二阶可微的充分条件。第二个是黎曼曲率张量的定义式——”
余南汐点点头：“唔，如果局部平直，则ro。欧氏空间是零曲率空间——”
季志远听后没有立刻说话，只是沉默地提起笔在白板上补下几行新的符號。
∫2u△vd=—∫27u·7vd
iim→o∞Σfk（）φk（o=f（）
it（u）‖≤c‖u2
“这几条在你们看来意味著什么？”
楚若然：“第一个是积分分部公式...”
余南汐：“唔，若t满足有界性和线性....”
?φ/?z = 0
$Δ2u+λu=0$
“那这两个？”
楚若然：“第一个是cauchy—riemann条件.
“”
余南汐：“第二个是双调和方程..
“，半个小时后，季志远终於停下笔。
他没有再出题，只是站在那里，目光在一片密密麻麻的符號间游移。
空气安静几秒钟，他忽然缓缓吐出两个字：“天才。”
陆正庭转过头，笑道：“老季，你这是什么表情？”
季志远的喉结动了动：“我这是被震撼到的表情，现在很难有词汇来形容我的心情。”
陆正庭看著他，自光温和地转向楚若然和余南汐：“老季说过，你们两个的全科成绩都很好？”
楚若然点点头。
“很好。”陆正庭微微一笑，“但为了避免任何意外，我希望你们能通过特招进入清北。”
“特招？”季志远听到这两个字，顿时摇了摇头。
“清北的特招早就结束了。所有其他非常规招生通道也都关了。”
陆正庭没有接话，只是抬起头，目光深深的望向黑板上那些未擦去的公式。
良久，他缓缓道：“我说的特招，不是常规意义上的招生。是我以菲尔兹奖得主的身份，亲自去找校长谈，申请额外特招名额。”
“或者换句话来说。我，陆正庭，要亲自招收这两位学生。”
他一字一顿。
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陆正庭看著白板上的公式，愣了几秒。
他只是想问楚若然对什么数学方向感兴趣，没想到他直接在白板上出了两个猜想。
楚若然看出了陆正庭的迟疑，轻声道：“陆院长，其实我对数学的各个方向都感兴趣。我都想研究。”
陆正庭听完，微微一笑：“没有人可以做到涉猎广泛並精通。做学问，总得先挖一个坑再往下掘。”
楚若然指了指余南汐，也微笑道：“我和她是可以不断挖坑並深入发掘的人，一个坑对我们来说太少了。”
这话一出，一旁的季志远愣了愣。
不断挖坑？
你这孩子，怎么在菲尔兹奖得主面前大放厥词？
不过比起季志远的愣神，陆正庭倒是目光带著几分深意的看向楚若然：“你能说出这话来我很欣慰。优秀的数学家从不止步於眼前的成就。”
“那我们就不聊方向了，聊聊能力。”
他抬起手擦掉黑板上的笔跡，重新写下一行公式：△u+入u=0
“我们从最基础的偏微分方程聊起。这是一条拉普拉斯方程，假设在有限区域內，边界条件为零，入为常数，谈谈你们对解的存在性有什么看法。”
季志远在一旁看著，眉头微微挑起。
这是一道很开放的题。严格意义上来讲，它甚至算不上题，更像是一个门槛。
他立刻意识到陆正庭是想考察两个孩子的思维方式。
楚若然拿起白板笔稍作思索，隨后走上前在空白处写下几个小字：分离变量法。
“如果入=0，可以视为调和函数问题。对二维情况，若Ω为有界区域，可展开为傅立叶级数，得到满足dirichleti边界条件的唯一解。”
陆正庭点头：“那若λ>0呢？”
楚若然：“那就转化为he imholtz方程。若边界仍为零，可以利用特徵函数展开法，解为一组正交特徵函数的线性组合。不过在高维下，特徵值的分布规律——目前还没有解析式。”
陆正庭微微眯眼。
分离变量、特徵函数、边界条件、特徵值分布，全部提到了。
他又看向一旁的余南汐：“同学，有什么补充？”
“唔，若入取复数，解就不再局限於实空间，可以考虑解析延拓。这时候调和函数解集的性质和黎曼？函数的解析延拓形式有一点相似。”
“嗯。
陆正庭沉吟片刻，又抬手写下一行新的公式：u/ot=△u
他侧过身，看向两个人：“假设区域Ω有界，边界条件齐次，初始函数在c空间中。
请说说你们认为这种方程的解，在时间t上的连续性与唯一性如何？”
楚若然思考几秒：“若係数常数且域有界，可利用特徵展开法。解可表示为u（，t）=∑ane^（—入mt）中n（）+——，其中入n为laplace算子的特徵值，中.为正交基函数。由於入>0，係数指数衰减，解在t上连续且唯一。”
陆正庭点头：“那如果係数不恆定呢？”
余南汐软声接道：“唔...若△替换为椭圆型算子div（a（）7u），只要a（）在区域內正定且连续，就仍然可以证明弱解存在。可以通过能量估计与poincaré不等式得到∥u（t）∥隨时间单调不增，从而保证解的稳定性与唯一性。”
“很好。”陆正庭目光微亮。
他又写下一条式子：2u/t2+△u=0
“换个类型。这个方程的基本解性质与前一个有何不同？”
楚若然：“前者是典型的拋物型算子，解隨时间平滑化；这一条则为双曲型算子，平滑性不增强，只保持连续。形式解可写作u（，t）=Σacos（√入t）+——”
余南汐在旁轻声补充：“唔，若算子△改为一般椭圆型l=—div（a7u幢+q（）u，则谱为正定离散。”
陆正庭：“那我继续。”
l（u）=div（a（）vu）+b（）.vu+c（）u=f（）
“这是最一般的线性椭圆型方程。假设a，b，c连续且a（）正定。谈谈你们认为解的正则性应满足什么条件。”
楚若然抬起头：“若f∈l2（q），则..”
“若f∈ca且边界光滑，则...”
“若再放宽到非齐次边界条件，可通过la—milgram引理...”
余南汐轻声补充：“唔，如果a（）只在弱意义下正定，比如..”
“唔，当a具有分段光滑性时，可以利用加权sobolev空间的正则性理论证明——”
两个人一唱一和，互相佐证。
季志远在一旁听得一愣一愣的。
虽然早有心理准备。但当听到如此流利的快问快答，而且逻辑严丝合缝。季志远大受震撼。
回答还在继续。
l（u）=（i，j）a （@u/0：0+......
“对这个公式，假设对称且在区域內满足一致椭圆性，討论此算子的自伴性与谱性质。”陆正庭道。
这一次，楚若然与余南汐几乎同时开口。
“若a光滑且b=c=0，在ho（q）上定义的算子是自伴的。其谱为....”
“因此任意u∈l2（2）可展开为....
“唔...若b不为零但满足div（b）=0，可通过加权內积修正对称性。”
“唔，而若c（）<0，则最低特徵值可能为负，但谱仍为离散——
陆正庭摸了摸下巴，眼神逐渐凝重：“很好。那如果a只分段连续呢？会影响正则性吗？”
楚若然：“会。弱解在分界面上保持函数连续，但梯度一般不连续。若每个分区內a∈c，则...”
余南汐：“如果进一步假设界面光滑，可以通过反射法构造延拓，使得u在邻域內属於c..
“那非线性情形呢？比如方程中出现u2或u项。”陆正庭又问。
楚若然：“可以转化为变分问题。若能量泛函Φ（u）...”
余南汐：“也可以通过单调算子理论。若算子a（u）=—div（a（，7u））满足强单调性.
一个小时后，陆正庭终於放下笔。
他长长的呼出口长气。
“我想我的提问可以结束了，我心里已经有答案了。”他抬起头缓缓看向两人，“你们两个，有机会站在国际数学家大会的舞台上。”
说完这句话，陆正庭微笑的拍了拍楚若然的肩膀。
旁边的季志远愣在那里，眼神里满是震动。
刚才整整一个小时，他一句话都没插进去。
仿佛像一个新兵蛋子。
“老季，要不你也来问问看吧？”陆正庭看了他一眼，“这俩孩子，可能不只擅长偏微分方程。”
听到这话，季志远吸了口气，起身走到黑板前。
他沉默片刻，然后写下几个新的式子。
7xf=0，div（f）=p（）
∫—“f（z）dz=0
det（j）=1
“我们聊聊向量分析、复分析，还有一点微分几何。”他说道。
楚若然看了看公式，最先开口：“若f保守，则存在势函数中，满足f=7中——的局部条件。”
余南汐补充：“晤，∫—“f（z）dz=0意味著解析函数的路径无关性，可以推广到多復变量空间——”
季志远又写了两个符號：
a2φ/aay=aφ/ayd
ra“/ok—o“/o+——
“那这个呢？”他问。
楚若然皱眉，沉思片刻后道：“第一个是混合偏导交换条件，保证函数二阶可微的充分条件。第二个是黎曼曲率张量的定义式——”
余南汐点点头：“唔，如果局部平直，则ro。欧氏空间是零曲率空间——”
季志远听后没有立刻说话，只是沉默地提起笔在白板上补下几行新的符號。
∫2u△vd=—∫27u·7vd
iim→o∞Σfk（）φk（o=f（）
it（u）‖≤c‖u2
“这几条在你们看来意味著什么？”
楚若然：“第一个是积分分部公式...”
余南汐：“唔，若t满足有界性和线性....”
?φ/?z = 0
$Δ2u+λu=0$
“那这两个？”
楚若然：“第一个是cauchy—riemann条件.
“”
余南汐：“第二个是双调和方程..
“，半个小时后，季志远终於停下笔。
他没有再出题，只是站在那里，目光在一片密密麻麻的符號间游移。
空气安静几秒钟，他忽然缓缓吐出两个字：“天才。”
陆正庭转过头，笑道：“老季，你这是什么表情？”
季志远的喉结动了动：“我这是被震撼到的表情，现在很难有词汇来形容我的心情。”
陆正庭看著他，自光温和地转向楚若然和余南汐：“老季说过，你们两个的全科成绩都很好？”
楚若然点点头。
“很好。”陆正庭微微一笑，“但为了避免任何意外，我希望你们能通过特招进入清北。”
“特招？”季志远听到这两个字，顿时摇了摇头。
“清北的特招早就结束了。所有其他非常规招生通道也都关了。”
陆正庭没有接话，只是抬起头，目光深深的望向黑板上那些未擦去的公式。
良久，他缓缓道：“我说的特招，不是常规意义上的招生。是我以菲尔兹奖得主的身份，亲自去找校长谈，申请额外特招名额。”
“或者换句话来说。我，陆正庭，要亲自招收这两位学生。”
他一字一顿。
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